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課程名稱：復(fù)變函數(shù)

一、考試的總體要求

本門課程主要要求：掌握該課程的基本概念及其性質(zhì)，掌握復(fù)變函數(shù)的微積分理論、級(jí)數(shù)理論、留數(shù)、共形映射等方面的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，要求能用這些理論和方法解決有關(guān)問題的能力。

二、考試的內(nèi)容及比例

1、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)（5%～10％）：

(1) 掌握復(fù)數(shù)、復(fù)平面上的點(diǎn)集、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、乘方與開方、復(fù)數(shù)的三角表示。

(2) 掌握復(fù)變函數(shù)、極限、連續(xù)性。

(3) 了解約當(dāng)曲線定理、復(fù)球面與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。

2、解析函數(shù)（10%～20％）：

(1) 掌握解析函數(shù)的概念與柯西-黎曼條件、求導(dǎo)法則、可微的必要條件和充分條件、奇點(diǎn)。

(2) 多值解析函數(shù)的支點(diǎn)、割線、解析分支。

(3) 掌握初等解析函數(shù)（正整數(shù)次冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)）。

(4) 了解初等多值函數(shù)（根式函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)）、 初等多值函數(shù)（反三角函數(shù)、一般指數(shù)函數(shù)、一般冪函數(shù)）。

3、復(fù)變函數(shù)的積分（15%～25％）：

(1) 掌握復(fù)積分的概念及基本性質(zhì)。

(2) 掌握柯西積分定理（單連通與復(fù)連通域）、定積分與原函數(shù)。

(3) 掌握柯西積分公式、解析函數(shù)的無(wú)窮可微性、劉維爾定理、莫勒拉定理。

(4) 理解調(diào)和函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)的概念。

4、解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示法（10～15％）：

(1) 了解復(fù)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)、收斂與一致收斂性。

(2) 掌握冪級(jí)數(shù)、收斂半徑、和函數(shù)性質(zhì)、解析函數(shù)的泰勒展式、初等函數(shù)的泰勒展開。

(3) 掌握解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性及唯一性定理、最大模原理。

5、解析函數(shù)的羅朗展式與孤立奇點(diǎn)（10%～15％）：

(1) 掌握解析函數(shù)的羅朗展式、解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)。

(2) 掌握解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)。

(3) 了解整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念及性質(zhì)。

6、留數(shù)理論及基應(yīng)用（10%～15％）：

(1) 掌握留數(shù)的概念和求法、利用留數(shù)計(jì)算周線積分。

(2) 會(huì)利用留數(shù)定理計(jì)算一些實(shí)積分（前三種類型）。

(3) 掌握幅角原理、儒歇定理及應(yīng)用。

7、共形映射（5%～10％）：

(1) 掌握解析變換的特征、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、單葉解析函數(shù)的基本性質(zhì)。。

(2) 掌握分式線性變換的映射特性、某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射。

三、參考書目

《復(fù)變函數(shù)論》（第三版）鐘玉泉編 高等教育出版社 2004.6

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