 碩士研究生入學考試《數學分析》考試大綱

Ⅰ 考試形式和試卷結構

一、試卷滿分及考試時間

本試卷滿分為150分，考試時間為3小時。

二、答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

三、試卷題型結構

1、填空題　 40 分

2、計算題 40 分

3、證明題 70分

II　考試范圍

第一章 實數集與函數

1.運用實數的有序性、稠密性及封閉性論證有關問題，鄰域概念的理解及應用;

2.實數絕對值的有關性質及幾個常見不等式的應用;

3.實數集確界的概念及確界原理在有關問題中的正確運用;

4.函數的概念及復合函數、反函數、有界函數、單調函數和初等函數等概念理解和運用;

5.基本初等函數定義、性質及圖象的識記，會求初等函數定義域，分析初等函數的復合關系。

第二章 數列極限

1.會用ε—N定義證明數列極限有關問題，并會用ε—N語言正確表述數列不以某數為極限;

2.理解收斂數列的性質，極限的唯一性、保號性及不等式性質;

3.會用極限的四則運算法則，迫斂性定理以及單調有界定理求收斂數列的極限;

4.理解柯西準則在極限理論中的重要意義，能用該準則判定某些簡單數列的斂散性。

第三章 函數極限

1.能運用函數極限定義證明與函數極限有關的某些命題，會給出函數不以某定數為極限的相應表述;

2.掌握函數極限基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質及有理運算性質;

3.理解Heine定理及Cauchy準則，初步掌握運用它們證明函數極限存在的基本思路;

4.識記兩個重要極限，能靈活運用其求一些相關函數極限;

5.理解無窮小(大)量及其階的概念，會用無窮小量求某些函數的極限,無窮小(大)量階的比較。

第四章 函數的連續(xù)性

1.明確函數在一點連續(xù)定義的幾種等價敘述;

2.會熟練準確地求出一般初等函數或分段函數的間斷點并判別其類型;

3.理解連續(xù)函數的性質，并能在相關問題的討論中正確運用這些重要性質;

4.深刻理解初等函數的連續(xù)性，應用連續(xù)性求極限;

5.掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質，理解其幾何意義，并能在各種有關具體問題中加以運用;

6.理解一致連續(xù)的概念，能認識到函數在區(qū)間上連續(xù)與一致連續(xù)兩者之間的聯系與區(qū)別。

第五章 導數與微分

1.利用定義法求函數在一點的導數;導數與導函數的聯系與區(qū)別，可導的充要條件，可導與連續(xù)的關系，求曲線上一點處的切線方程，用導數概念解決相關變化率的實際應用問題;

2.熟記各類基本初等函數導數公式，綜合運用求導的法則和方法熟練計算初等函數的導數;

3.理解函數微分的概念，用定義求簡單函數的微分，運用基本公式和微分法則求初等函數的微分;

4.導數與微分的聯系，增量與微分的關系，用微分作近似計算;

5.理解高階導數與高階微分概念，明確二者的聯系，會求高階導數與高階微分，理解一階微分形式的不變性并用其求復合函數的微分。

第六章 微分中值定理及應用

1.利用中值定理證明有關函數微分學的命題;

2.用洛比塔法則求不定式的極限;

3.討論函數及曲線性態(tài)，用導數作函數圖象;

4.求解有關最大(小)值的應用問題;

5.用中值定理及單調性證明不等式，方程根的存在個數及分布討論。

第七章 實數的完備性

1.區(qū)間套、聚點、確界、覆蓋、子列及一致連續(xù)等概念的理解;求點集的聚點、確界;

2.對實數基本定理的理解和準確表述，明確其等價性;

3.應用閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質討論函數的有界性、最值性、證明方程根的存在性;

4.函數一致連續(xù)性的判別及有關問題的證明。

第八章 不定積分

1.原函數與不定積分的關系及其幾何意義;積分與微分的關系;

2.熟記基本積分公式，用線性運算法則求不定積分;

3.用換元積分法和分部積分法或綜合運用這幾種方法求不定積分;

4.有理函數的積分法，用適當變換求三角函數有理式、簡單無理函數的積分;

5.明確初等函數在定義區(qū)間存在原函數，但其原函數不一定是初等函數的結論。

第九章 定積分

1.理解并掌握定積分的思想(分割、近似求和、取極限)的基礎上會用定義求簡單函數的定積分;

2.明確可積的必要條件、充要條件及可積函數類;

3.熟練地應用定積分的性質進行積分的計算，積分值的大小比較、求平均值及有關證明;

4.用微積分學基本定理及牛頓——萊布尼茲公式進行有關積分的證明和計算;變限積分的求導法則及應用;

5.用換元積分法和分布積分法計算定積分。

第十章 定積分的應用

1.用定積分解決某些幾何應用問題：平面圖形面積、平面曲線的弧長、一些特殊立體的體積、旋轉曲面的面積等的計算;

2.用微元法的思想及定積分計算一些物理上的應用問題：液體靜壓力、引力及功和平均功率。

第十一章 反常積分

1.用比較法、Cauchy法判別無窮限積分的收斂性;

2.瑕積分中瑕點的確定及收斂性判別;

3.收斂的反常積分的計算。

第十二章 數項級數

1.級數斂散性的概念及收斂級數性質的理解和運用;

2.用定義、性質及收斂的必要條件判別級數的斂散性;

3.用比較法、比式法、根式法、積分法判別正項級數斂散性;

4.用萊布尼茲判別法判斷交錯級數的斂散性;

5.用Abel及Dirichlet判別法判斷某些級數的斂散性。

第十三章 函數列與函數項級數

1.函數列或函數項級數一致收斂的概念和性質的理解與掌握;

2.函數項級數一致收斂性的判別;

3.掌握一致收斂的函數列與函數項級數表示的函數的連續(xù)性、可積性、可微性，并用這些性質去解決有關問題。

第十四章 冪級數

1.求冪級數的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域;

2.熟記幾個常用初等函數的冪級數展開式，并利用其將某些初等函數展開成冪級數;

3.用冪級數的性質及逐項求導和逐項積分求某些冪級數的和函數;

4.明確函數冪級數展開的條件及求函數冪級數展開式的一般步驟。

第十五章 傅里葉級數

1.熟練地將以2π為周期的函數展成Fourier級數，并應用收斂定理求級數在指定點的和;

2.將2π為周期的函數展成Fourier級數，會求函數的正弦級數和余弦級數;

3.準確表述收斂性定理，知道其證明主要思路。

第十六章 多元函數的極限與連續(xù)

1.理解平面點集的有關概念，求函數的定義域并繪圖表示;

2.理解并掌握二元函數極限概念，明確重極限與累次極限的關系，能借助累次極限解決極限有關問題;說明二元函數極限不存在的常用方法的應用;

3.理解二元函數連續(xù)的概念，會利用連續(xù)性求初等函數的極限，掌握有界閉域上連續(xù)函數的性質。

第十七章 多元函數微分學

1.深刻理解全微分和偏導數的概念及聯系，用定義討論函數的可微性;

2.用定義求函數在指定點的偏導數;

3.熟練運用復合函數求導法則計算各階偏導數;

4.函數的可微、連續(xù)、偏導存在與偏導數連續(xù)之間關系;

5.求空間曲線的切線和法平面;曲面的切平面和法線;

6.能寫出簡單二元函數的Taylor公式或Maclaurin公式;

7.求二元函數的極值及一些簡單的最大(小)值應用問題。

第十八章 隱函數定理及應用

1.求隱函數及隱函數組的導數;

2.明確隱函數及隱函數組存在唯一性及可微性條件;

3.隱函數理論在幾何上的應用，求曲線切線、法線(法平面)、求曲面的切平面和法線;

4.用Lagrange乘數法求條件極值。

第十九章 含參量積分

1.分析、論證含參量積分定義的函數的連續(xù)性，可微性或可積性;

2.判別含參量反常積分一致收斂性;

3.用對參量的積分、微分、極限等運算求定積分或反常積分;

4.Γ函數及B函數的定義、關系及遞推公式的應用。

第二十章 曲線積分

1.熟練運用兩類曲線積分的計算法求曲線積分;

2.用曲線積分的幾何意義及物理意義解決有關應用問題。

第二十一章 重積分

1.直角坐標系下計算二重積分及二次積分交換順序;

2.利用變量替換公式簡化二重積分計算，特別是利用極坐標變換計算二重積分;

3.應用Green公式計算第二型曲線積分，及用第二型曲線積分計算平面圖形面積;用曲線積分法求全微分式的原函數;

4.化三重積分為累次積分，用柱面坐標和球面坐標計算三重積分;

5.應用重積分計算曲面面積，重心、轉動慣量及引力等幾何和物理量。

第二十二章 曲面積分

1.第一、二型曲面積分的計算;

2.應用Gauss公式和stokes公式計算曲面積分及空間曲線積分;

3.應用曲面積分解決有關幾何及物理應用問題;

4.空間曲線積分與路線無關的條件，用曲線積分法求全微分式的原函數。

III 主要參考書

[1]華東師范大學數學系編, 數學分析(上、下冊),高等教育出版社

[2]陳紀修,於崇華,金路編,數學分析(上、下冊), 高等教育出版

[3]裴禮文編,數學分析中的典型問題與方法,高等教育出版社