科目代碼：892

科目名稱：高等代數(shù)

一、考試的總體要求

主要考核考生對《高等代數(shù)》課程的基本理論體系和知識結(jié)構(gòu)的掌握情況及熟練程度，掌握高等代數(shù)的基本理論和方法。要求考生具有一定的抽象思維和邏輯推理能力，以及綜合運(yùn)用各種知識解決問題的能力，要求考生概念清楚，對定理理解準(zhǔn)確，扎實(shí)掌握，還要求有較強(qiáng)的計(jì)算能力，對高等代數(shù)的方法能靈活應(yīng)用。

二、考試的內(nèi)容

第一部分 多項(xiàng)式

1. 掌握數(shù)域概念，一元多項(xiàng)式運(yùn)算法則;

2. 掌握帶余除法定理，最大公因式概念及求法(輾轉(zhuǎn)相除法);

3. 掌握不可約多項(xiàng)式概念和因式分解唯一性定理;

4. 掌握重因式、余數(shù)定理，零點(diǎn)(根)定理;

5. 掌握復(fù)/實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理;

6. 了解整系數(shù)多項(xiàng)式的艾森斯坦(Eisenstein)判別法。

第二部分 行列式

1. 掌握排列及對換的概念，排列奇偶性的概念及判定;

2. 掌握行列式的定義，行列式的性質(zhì)，行列式的各種計(jì)算方法;

3. 掌握范德蒙德(Vandermonde)行列式;

4. 掌握矩陣的定義和初等行、列變換，矩陣與行列式的區(qū)別;

5. 掌握克拉默(Cramer)法則，齊次線性方程有非零解的條件。

第三部分 線性方程組

1. 掌握線性方程組的高斯(Gauss)消元法;

2. 掌握向量空間、線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念;

3. 掌握矩陣秩的定義及求法，向量組的極大線性無關(guān)組的求法;

4. 掌握線性方程組有解的判定：線性方程組無解，有唯一解及有無窮多組解的判定;

5. 掌握線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

第四部分 矩陣

1. 掌握矩陣基本運(yùn)算，掌握矩陣乘積的行列式;

2. 掌握矩陣的逆的定義及求法，分塊矩陣的概念;

3. 理解初等矩陣的意義及性質(zhì);

4. 掌握分塊矩陣的應(yīng)用。

第五部分 二次型

1. 掌握二次型的矩陣表示，利用合同變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形;

2. 掌握復(fù)二次型的規(guī)范形及實(shí)二次型的慣性定理;

3. 熟練掌握二次型的規(guī)范形/標(biāo)準(zhǔn)形及正/負(fù)定二次型的相關(guān)定理。

第六部分 線性空間

1. 了解線性(向量)空間的定義及簡單性質(zhì);

2. 掌握維數(shù)、基底、坐標(biāo)的概念;

3. 掌握基變換與坐標(biāo)變換公式，子空間的幾何意義，若干子空間的舉例;

4.掌握子空間的交與和，子空間的直和。

第七部分 線性變換

1. 掌握線性變換的概念、運(yùn)算，了解一些線性變換的背景和具體例子;

2. 掌握線性變換與矩陣的關(guān)系，同一線性變換在兩組不同基下所對應(yīng)的矩陣之間的關(guān)系;

3. 掌握特征值、特征向量以及特征空間的概念，會求特征值，特征向量， 掌握特征多項(xiàng)式的性質(zhì)，特別是哈密頓-凱萊(Hamilton-Cayley)定理;

4.掌握對角矩陣的定義及求法，線性變換的值域與核的概念及性質(zhì);

5.掌握不變子空間的概念及性質(zhì);

6.了解任意矩陣在復(fù)數(shù)域上都可相似于若爾當(dāng)(Jordan) 標(biāo)準(zhǔn)形。

第八部分 歐幾里得空間

1. 掌握Euclid空間的概念與基本性質(zhì);

2. 掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基與同構(gòu)的概念，掌握施密特(Schimidt) 正交化過程;

3. 掌握若干正交變換的等價(jià)定義，知道子空間與正交補(bǔ)及其簡單的性質(zhì);

4.掌握如何用正交矩陣化實(shí)對稱矩陣為對角形;

5.掌握最小二乘法。

三、考試的題型

填空題，計(jì)算題，證明題。